Независими събития: Съвместимост и несъвместимост

Преди да продължите с тази статия, препоръчително е да разгледате някои от статиите, свързани с теорията на вероятностите в следния блог.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Много от събитията около нас са статистически независими. Първото подхвърляне на стандартното 6-лицево и неподправено зарче е независимо от стотното подхвърляне на същото зарче. Появата на 3 точки е независима от появата на 5 точки. Зарчето не притежава "памет", и резултатите от предишните подхвърляния не оказват влияние върху резултатие от следващите подхвърляния. Ако използваме концепцията за условна вероятност за да илюстрираме горните идеи, приложени към две събития A и B, то



(1) P(A/B) = P(A)
(2) P(B/A) = P(B)



Ако събитието A е статистически независимо от събитието B, то вероятността за появата на A предвид B е равна на вероятността за появата на A, без оглед (нe)появата на B (1); ако събитието B е статистически независимо от събитието A, то и вероятността за появата на B предвид A също е равна на вероятността на B, без значение дали A ще се реализира.    


Пример 1: Една неподправена монета е подхвърлена 4 пъти. Ако означим падането на "ези" с H, а падането на "тура" с T, то коя от двете страни на монетата е по-вероятно да се падне при следващото подхвърляне? Дали P(H) > P(T), или P(T) > P(H)?


Двете събития се равновероятни, защото вероятността да се падне "ези" при следващото подхвърляне е 0.5, и вероятността да се падне "тура" също е 0.5. Появата на "ези" не е повлияна от появата на "тура". Следователно, P(H) = P(T).



Когато две събития A и B са независими и съвместими, вероятността едно от тях да се появи е равна на сумата от вероятностите на двете събития. Терминът "съвместимост" в случая обозначава логическата съвместимост на събитията под обсъждане.



 (3) P(A \/ B) = P(A) + P(B)    



Пример 2: Пространството на елементарните събития обхваща всички възможни резултати от даден експеримент. В случая с монетата, пространството на елементарните събития включва само две подмножества (събития) - "ези" (H) и "тура" (T)



S = {H, T}



Двете събития са несъвместими; когато се падне H, това означава, че не се пада T, и обратното. Интуитивно знаем, че вероятностите на двете събития се сумират до единица, защото стойността им съвпада със стойността на реално число в интервалът [0, 1]. Но можем да установим това и след като приложим (3)



P(H \/ T) = P(H) + P(T) = 1/2 + 1/2 = 1



Това изчерпва и всички възможни изходи от дадено подхвърляне. Въпреки всичко, някои независими събития са съвместими. Казваме още, че между появата им съществува припокриване, защото появата на едно от събитията не изключва появата и на другото събитие. Подобно на (3), сумата от вероятностите на отделните събития също трябва да фигурира в изчисленията ни, но наред с това трябва да отчетем и припокриването на двете събития


(4) P(A \/ B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)